Tính \(\lim u_n\) với \(u_{n}=\frac{\sqrt{3.4+\frac{1}{5}}+\sqrt{4.5+\frac{1}{6}}+\sqrt{5.6+\frac{1}{7}}+\ldots+\sqrt{n(n+1)+\frac{1}{n+2}}}{n^{3}+2021},(n \in \mathbb{N}, n \geq 3) .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } n(n+1)+\frac{1}{n+2}<n(n+1)+\frac{1}{4}\left(\text { vì } n \geq 3 \text { thì } \frac{1}{n+2} \leq \frac{1}{5}<\frac{1}{4}\right) . \\ &\Leftrightarrow n(n+1)+\frac{1}{n+2}<\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{n(n+1)+\frac{1}{n+2}}<n+\frac{1}{2} . \\ &\text { Suy ra } \sum_{k=3}^{n} \sqrt{k(k+1)+\frac{1}{k+2}}<\sum_{k=3}^{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)=\frac{n(n+1)}{2}-3+\frac{n-2}{2}=\frac{n^{2}+2 n-8}{2} \\ &\text { Do đó, } \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3 \text { ta có } 0<u_{n}<\frac{n^{2}+2 n-8}{2\left(n^{3}+2021\right)} . \text { Mà } \lim \frac{n^{2}+2 n-8}{2\left(n^{3}+2021\right)}=0 \text { nên } \lim u_{n}=0 . \end{aligned}\)
