\(\text { Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn } k \text { để } \lim \frac{n-2 \sqrt{n^{k}} \cos \frac{1}{n}}{2 n}=\frac{1}{2} .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có } \frac{n-2 \sqrt{n} \sin 2 n}{2 n}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{n} \sin 2 n}{n} \text { . }\)
Ta có
\(\begin{array}{l} \lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}.\\ \Leftrightarrow \lim \left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{n}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \lim \frac{{\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{n} = 0 \end{array}\)
\(\text { Ta có } \lim \cos \frac{1}{n}=\cos 0=1 \text { nên bài toán trở thành tìm } k \text { sao cho }\)
\(\lim \frac{\sqrt{n^{k}}}{n}=\lim n^{\frac{k}{2}-1}=0 \Leftrightarrow \frac{k}{2}-1<0 \Leftrightarrow k<2\)
Do k l;à số tự nhiên chẵn nên không tồn tại giá trị của k thỏa yêu cầu bài toán.
