Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau \( y = 3{(3.\sin x + 4.\cos x)^2} + 4(3.\sin x + 4.\cos x) + 1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt t=3.sinx+4.cosx, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{t^2} = {{\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)}^2}}\\ { \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}\\ { = 25.1 = 25}\\ { \Rightarrow {t^2} \le 25 \Rightarrow - 5 \le t \le 5} \end{array}\)
Xét hàm số \(y=3t^2+4t+1\) trên [−5;5]
Hàm số \(y=3t^2+4t+1\) là hàm bậc hai có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} { - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{3} \in \left[ { - 5;5} \right]}\\ {y\left( { - \frac{2}{3}} \right) = - \frac{1}{3}}\\ {y\left( { - 5} \right) = 56}\\ {y\left( 5 \right) = 96} \end{array}\)
Ta có bảng biến thiên:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \min y = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\\ \to \max y = 96 \Rightarrow t = 5 \end{array}\)
