Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{2} \cos x\) trên đoạn \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(y=f(x)=x+\sqrt{2} \cos x \text { trên }\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right], f^{\prime}(x)=1-\sqrt{2} \sin x\)
\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 1-\sqrt{2} \sin x=0 \Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi \\ x=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\)
Vì \(x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)
Ta có \(f(0)=\sqrt{2}, f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+1, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\)
Vậy \(M=\max \limits_{[0 ; \frac{\pi}{2}]}=\frac{\pi}{4}+1; m=\min\limits _{[0 ; \frac{\pi}{2}]}=\sqrt{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm các giá trị nguyên dương \(n \ge 2\) để hàm số \(y = {\left( {2 – x} \right)^n} + {\left( {2 + x} \right)^n}\) với \(x \in \left[ { – 2;{\rm{ 2}}} \right]\) có giá trị lớn nhất gấp 8 lần giá trị nhỏ nhất.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{-x^{2}+4 x}\) là:
-
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h , chạy 8 km/h và quãng đường BC = 8(km) . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{2 x^{2}+1}\)bằng
-
Trên đoạn [-1; 1], hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} - x - 3\)
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=2 \cos 2 x+2 \sin x\) là
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - x + 3}}{{2x + 5}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 3} \right]\)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^4}x – {\cos ^2}x + 4\) bằng:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x3+3x2−9x−7 trên đoạn [−4;3] bằng:
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 1 - 5x}}{x} \text{ trên đoạn } \left[ {1;3} \right]\)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} – 8{x^2} + 16\( trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\).
-
Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} – 4x + 5}} – \frac{{{x^2}}}{4} + x\). Gọi \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)\), khi đó M–m bằng.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+4x−5 trên đoạn [0;3] bằng
-
M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + 1 + \sqrt {2 – {x^2}} \). Tính M – m?
-
Số các giá trị tham số m để hàm số \(y = \frac{{x – {m^2} – 1}}{{x – m}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng – 6 là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \cos ^{3} x-\frac{9}{2} \cos ^{2} x+3 \cos x+\frac{1}{2} \text { là: }\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{\ln x}{x}\) trên đoạn \(\left[\begin{array}{l} 1 ; e \\ \end{array}\right]\) bằng là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x-1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) là
-
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x \sqrt{1-x^{2}}\) . Khi đó M+m bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên \(\mathbb{R}\). Biết f'(0) = 3,f'(2) = – 2018 và bảng xét dấu của f”(x) như sau:
Hàm số y = f(x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \({x_0}\) thuộc khoảng nào sau đây?
