Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{k\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\) lớn hơn - 1.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\begin{array}{l} y = \frac{{k\sin x + 1}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow y.\cos x + 2y = k.\sin x + 1\\ \Leftrightarrow y.\cos x - k.\sin x = 1 - 2y(*) \end{array}\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
\( {\left( {y.\cos x - k.\sin x} \right)^2} \le \left( {{y^2} + {k^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = {y^2} + {k^2}\)
Kết hợp với điều kiện (*), ta được
\(\begin{array}{l} {\left( {1 - 2y} \right)^2} \le {y^2} + {k^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {k^2} \le 0 \Leftrightarrow 3{\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} \le {k^2} + \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow y - \frac{2}{3} \ge - \sqrt {\frac{{3{k^2} + 1}}{9}} \Leftrightarrow y \ge \frac{2}{3} - \sqrt {\frac{{3{k^2} + 1}}{9}} \Rightarrow \min y = \frac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3} \end{array}\)
Yêu cầu bài toán
\( \Leftrightarrow \min y > - 1 \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3} > - 1 \Leftrightarrow \sqrt {3{k^2} + 1} < 5 \Leftrightarrow \left| k \right| < 2\sqrt 2 \)
