Gọi (M,m ) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2sin ^3x + cos ^3x\). Giá trị biểu thức \(T = M^2 + m^2\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\sin }^3}x + {{\sin }^2}x = {{\sin }^2}x\left( {\sin x + 1} \right) \ge 0}\\ {{{\sin }^3}x - {{\sin }^2}x = {{\sin }^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \le 0} \end{array} \end{array}\)
Do đó \( - {\sin ^2}x \le {\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\)
Tương tự \( - {\cos ^2}x \le {\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\)
\( \Rightarrow - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x \le y \le 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)
Mà
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - 2si{n^2}x - co{s^2}x = - 1 - si{n^2}x \ge - 1 - 1 = - 2\\ 2si{n^2}x + co{s^2}x = 1 + si{n^2}x \le 1 + 1 = 2 \end{array} \right.\\ \to - 2 \le y \le 2 \end{array}\)
Vậy M=2 đạt được khi \(sinx=1,cosx=0\)
m=−2 đạt được khi \(sinx=−1,cosx=0\)
Do đó \( M^2+m^2=8 \)
