Gọi (M,m ) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2sin ^3x + cos ^3x\). Giá trị biểu thức \(T = M^2 + m^2\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\sin }^3}x + {{\sin }^2}x = {{\sin }^2}x\left( {\sin x + 1} \right) \ge 0}\\ {{{\sin }^3}x - {{\sin }^2}x = {{\sin }^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \le 0} \end{array} \end{array}\)
Do đó \( - {\sin ^2}x \le {\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\)
Tương tự \( - {\cos ^2}x \le {\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\)
\( \Rightarrow - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x \le y \le 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)
Mà
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - 2si{n^2}x - co{s^2}x = - 1 - si{n^2}x \ge - 1 - 1 = - 2\\ 2si{n^2}x + co{s^2}x = 1 + si{n^2}x \le 1 + 1 = 2 \end{array} \right.\\ \to - 2 \le y \le 2 \end{array}\)
Vậy M=2 đạt được khi \(sinx=1,cosx=0\)
m=−2 đạt được khi \(sinx=−1,cosx=0\)
Do đó \( M^2+m^2=8 \)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y= \tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\)
-
Cho \(x, y, z>0 \text { và } x+y+z=\frac{\pi}{2}\)Tìm giá trị lớn nhất của \(y=\sqrt{1+\tan x \cdot \tan y}+\sqrt{1+\tan y \cdot \tan z}+\sqrt{1+\tan z \cdot \tan x}\)
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{2-\sin x}\)
-
Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
-
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=2 \cos \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)+3\).
-
Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là
-
Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\) lần lượt là:
-
Hàm số \(f(x)=\cos \sqrt{x^{2}-16}\) là:
-
Chu kỳ của hàm số \(y=tan x\) là:
-
\(\text { Tập xác định của hàm số } y=\frac{3+\cot \frac{x}{2}}{\cos x+1} \text { là: }\)
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\cot ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-3 x\right)\)
-
Tập xác định của hàm số \(y=\frac{2 \sin x+1}{1-\cos x}\) là:
-
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y=\frac{\tan 2 x}{\sqrt{3} \sin 2 x-\cos 2 x}\)
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\cot x+\sin 5 x+\cos x\)
-
\(\text { Tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: } y=\cos x+\cos (\sqrt{3} \cdot x)\)
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\sqrt{5+2 \cot ^{2} x-\sin x}+\cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=7-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) là
-
TXĐ của hàm số \(y=\dfrac{\tan x+\cot x}{1-\sin 2x}\) là:
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\) lần lượt là:
