Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\( {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} + \frac{{{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 3.\)
Ta có
\( \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = \frac{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x}}} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}}.\)
khi đó phương trình tương đương với \( {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}} = 3.\)
Đặt: \( {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right)\) , khi đó phương trình trở thành
\(t + \frac{1}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\ {t_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\ {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}} \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = - 1 \end{array} \right. \to {x_1}{x_2} = - 1\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \({{\log }_{\frac{3}{2}}}\left| x-2 \right|-{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( x+1 \right)=m\) có ba nghiệm phân biệt.
-
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(4^{x^{2}-3 x+2}+4^{x^{2}+6 x+5}=4^{2 x^{2}+3 x+7}+1\)
-
Giải phương trình \(\log _{3}(9-\sqrt{x-1})=\log _{2}\left(x^{2}-2 x+5\right)\)
-
Tập nghiệm của phương trình \(\displaystyle (5 - x)\log (x - 3) = 0\) là:
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({{\log }_{2}}^{2}x+2{{\log }_{2}}x-m=0\) có nghiệm \(x>2.\)
-
Tính \(\lim \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{2{n^2}}}\)
-
Cho \({\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}16 – {\log _{\sqrt a }}\sqrt 3 + {\log _{{a^2}}}4\). Tính x.
-
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô màu) là
.png)
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
-
Số nghiệm của phương trình \(\ln \left(x^{2}-6 x+7\right)=\ln (x-3)\) là:
-
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_x}\left( {x - 1} \right)} - 1}}\) là:
-
Biết phương trình \(\frac{1}{\log _{2} x}-\frac{1}{2} \log _{2} x+\frac{7}{6}=0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho phương trình \({\log _3}(x – 1) = 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình \({4^x} - {5.2^x} + 4 = 0\). Tính giá trị \({x_1}^2 + {x_2}^2.\)
-
Nghiệm của phương trình \(2^{2 x}-3.2^{x+2}+32=0\) là:
-
Phương trình lg( x - 3) + lg( x - 2) = 1 - lg5 có tất cả bao nhiêu nghiệm trên tập số thực.
-
Giải phương trình lnx + ln(x - 1) = ln2
-
Giải các phương trình mũ sau: \( {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x + 1}}\)
-
Tìm số thực x biết \({\log _3}\left( {2 – x} \right) = 2\)
-
Nghiệm của phương trình \(\left(\frac{1}{25}\right)^{x+1}=125^{x}\) là:
