Phương trình \(\sin ^{4} x+\cos ^{4}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}\) có bao nghiêu nghiệm trên \((2 \pi ; 3 \pi) ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\sin ^{4} x+\cos ^{4}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4} \Leftrightarrow\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow(1-\cos 2 x)^{2}+\left[1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-(-2 x)\right)\right]^{2}=1 \\ \Leftrightarrow(1-\cos 2 x)^{2}+(1-\sin 2 x)^{2}=1 \\ \Leftrightarrow 1-2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x+1-2 \sin 2 x+\sin ^{2} 2 x=1 \\ \Leftrightarrow 3-2 \cos 2 x-2 \sin 2 x=1 \\ \Leftrightarrow \sin 2 x+\cos 2 x=1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \Leftrightarrow \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{4} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{4}+k \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc \((2 \pi ; 3 \pi) \)
