Phần thực của số phức \({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{{1 + i - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{i}\)
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} = {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{2000}}{{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}^{2000}} = {2^{1000}}\left( {\cos 500\pi + i\sin 500\pi } \right) = {2^{1000}}}\\ { \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{{{2^{1000}} - 1}}{i} = \frac{{\left( {{2^{1000}} - 1} \right).\left( { - i} \right)}}{{ - {i^2}}} = \left( {1 - {2^{1000}}} \right)i.} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Xét các số phức z thỏa mãn \((z+2 i)(z+2) 1\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
-
Nếu số phức z thỏa mãn \(|z|=1\) thì phần thực của \(1\over{1-z}\)bằng
-
Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn \(\left|z_{1}\right|=3,\left|z_{2}\right|=4,\left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{37}\). Xét số phức \(z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=a+b i\) Tìm |b|
-
Cho số phức \(z_{1}=-1+3 i ; z_{2}=2-2 i\) . Tính mô đun số phức \(w=z_{1}+z_{2}-5\)
-
Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(6 z^{2}-12 z+7=0\) . Trên mặt phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn của số phức \(w=i z_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}\)
-
Xét số phức z thỏa mãn \(z^{2}=(1+i)|z|-2(1-i)\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tìm môđun của số phức z biết \(z-4=(1+i)|z|-(4+3 z) i\)
-
Xét các số phức (z, w ) thỏa mãn | w - i| = 2, z + 2 = iw. Gọi z1, z2 lần lượt là các số phức mà tại đó | z | đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Môđun |z1 + z2 | bằng:
-
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(|z-1+2 i|=4\) là:
-
Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm phần thực của số phức \(z^2\)
-
Cho số phức (z ) thỏa mãn| z2 - 2z + 5| = | (z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =| w | với w = z - 2 + 2i
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho \(z_{1}=1-i, z_{2}=3+2 i\) , gọi các điểm M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(z_{1}, z_{2}\) , gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
-
Cho số phức z = 5 - 4i . Số phức z-2 có phần thực và phần ảo lần lượt là
-
Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z
.png)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z\)
-
Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình \(z^{2}-4 z+9=0\). Gọi M, N là các điểm biểu
diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là: -
Môđun của số phức \(z=2+3 i-\frac{1+5 i}{3-i}\)
-
Cho số phức \(z=2018-2017 i\). Điểm M biểu diễn của số phức liên hợp của z là
-
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i . Tìm điều kiện giữa a; b; a’; b’ để z + z’ là một số thuần ảo.
-
Số phức z thỏa mãn: \(z - \left( {2 + 3i} \right)\overline z = 1 - 9i\) là
-
Kí hiệu A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức \(z_{1}=1+i ; z_{2}=(1+i)^{2}, z_{3}=a-i, a \in \mathbb{R}\) . Tìm a để tam giác ABC vuông tại B
