Phần thực của số phức \({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{{1 + i - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{i}\)
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} = {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{2000}}{{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}^{2000}} = {2^{1000}}\left( {\cos 500\pi + i\sin 500\pi } \right) = {2^{1000}}}\\ { \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{{{2^{1000}} - 1}}{i} = \frac{{\left( {{2^{1000}} - 1} \right).\left( { - i} \right)}}{{ - {i^2}}} = \left( {1 - {2^{1000}}} \right)i.} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Phần ảo của số phức z thỏa mãn \(z + 2\overline z = (2 - i)^3 (1- i)\) là:
-
Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(6 z^{2}-12 z+7=0\) . Trên mặt phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn của số phức \(w=i z_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}\)
-
Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn \(\left.\left|z^{2}+(\bar{z})^{2}+2\right| z\right|^{2} \mid=16\) là hai đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) là bao nhiêu?
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=1\)
-
Cho số phức z thỏa z = 1+ i+ i2+ i3+...+ i2016. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là
-
Tọa độ điểm biểu diễn hai số phức z và z' lần lượt là tọa độ của hai vectơ \(\vec{u} \text { và } \vec{u}^{\prime}\) . Hãy chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
-
Giảsử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau đây: \(|z-1+i|=21\) là một đường tròn có tâm:
-
Tìm giá trị lớn nhất của |z|, biết rằng z thỏa mãn điều kiện |( - 2 - 3i)(3 - 2i)z + 1| = 1
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho số phức \(z = {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {1 + 2i} \right)\). Số phức z có phần ảo là
-
Số phức \(z=\frac{7-17 i}{5-i}\) có phần thực là
-
Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn \(z_{1}|=| z_{2}|=1,| z_{1}+z_{2} \mid=\sqrt{3}\). Tính \(\left|z_{1}-z_{2}\right|\)
-
Cho hai số phức \(z_1, z_2\) , thỏa mãn \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=1 . \text { Tính }\left|z_{1}+z_{2}\right|\)
-
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(|z-1+2 i|=4\) là:
-
Tính môđun của số phức \(z=(1-2 i)[2+i+i(3-2 i)]\)
-
Cho hai số phức \(z_1 = 1- 3i,\,z_2 = -2 - 5i\) .Tìm phần ảo b của số phức \(z = z_1 - z_2\)
-
Cho các số phức \(z_{1}=1-2 i ; z_{2}=1-3 i\) . Tính môđun của số phức \(\bar z_{1}+\bar z_{2}\)
-
Cho số phức z=2014 +2015i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:
-
Cho số phức \(z=(2-3 i)^{2}\) . Khi đó môđun của z bằng
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z = - 1 + 3i\)
.png)
Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?
