Một mạch điện gồm một biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều ổn định \(u={{U}_{0}}cos100\pi t\text{ }\left( V \right).\) Thay đổi R ta thấy với hai giá trị \({{R}_{1}}=45\text{ }\Omega \) và \({{R}_{2}}=80\text{ }\Omega \) thì mạch tiêu thụ công suất đều bằng 80 W. Giá trị cực đại của công suất tiêu thị trên mạch khi thay đổi R bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCông thức tính công suất của mạch: \(P=\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}.R\Leftrightarrow P\left( {{R}^{2}}+Z_{L}^{2} \right)={{U}^{2}}.R.\) (1)
Ta có \((1)\Leftrightarrow P.{{R}^{2}}-{{U}^{2}}R+P..Z_{L}^{2}=0\text{ (*)}\)
Có 2 giá trị của R để công suất của mạch là 80 W nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi – ét, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {R_1} + {R_2} = \frac{{{U^2}}}{P}\\ {R_1}.{R_2} = \frac{{P.Z_L^2}}{P} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} U = \sqrt {P.\left( {{R_1} + {R_2}} \right)} = 100{\rm{ V}}\\ {Z_L} = \sqrt {{R_1}.{R_2}} = 60{\rm{ }}\Omega \end{array} \right.{\rm{.}}\)
Ta có: \(P=\frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}.R=\frac{10000}{R+\frac{3600}{R}}\) đạt giá trị cực đại khi \(\left( R+\frac{3600}{R} \right)\) đạt giá trị cực tiểu.
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có: \(R+\frac{3600}{R}\ge 2\sqrt{R.\frac{3600}{R}}\Leftrightarrow R+\frac{3600}{R}\ge 120\)
Vậy công suất cực đại của mạch khi R thay đổi là \(R=\frac{{{U}^{2}}}{120}=\frac{10000}{120}=\frac{250}{3}\text{ W}.\)
