Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đổi: 200 m = 0,2 km, 50 m = 0,05 km.

Ta mô hình hóa bài toán như trong hình vẽ sau:

Hùng ở vị trí B, Minh ở vị trí A, H là vị trí lề đường mà Minh đi theo hướng vuông góc với BC từ vị trí A.

Giả sử C là vị trí Hùng và Minh gặp nhau. Đặt CH = x (km) (x > 0).

Áp dụng định lí Pythagore tam giác HAB vuông tại H, ta có:

AB² = HB² + HA² ⇔ HB² = AB² – HA² = (0,2)² – (0,05)² = 0,0375

\( \Rightarrow HB = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\)

Ta có: BC + CH = HB ⇔ BC = HB – CH = \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\)

Do đó quãng đường di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau C dài \(\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x (km)\)

Vận tốc đạp xe của Hùng là 15 km/h nên thời gian di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau là \(\frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x}}{{15}} = \frac{{\sqrt {15} - 20x}}{{300}}\) (giờ)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác CHA vuông tại H, ta có:

CA2= HA2 + HC2 = (0,05)2 + x2 = 0,0025 + x2

Suy ra \(CA = \sqrt {0,0025 + {x^2}} \) hay quãng đường di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C dài \(\sqrt {0,0025 + {x^2}} (km)\)

Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h nên thời gian di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C là \(\frac{{\sqrt {0,0025 + {x^2}} }}{5}\) (giờ)

Để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia thì thời gian di chuyển từ vị trí A đến C của Minh phải bằng thời gian di chuyển từ vị trí B đến C của Hùng.

Khi đó ta có phương trình: \(\frac{{\sqrt {0,0025 + {x^2}} }}{5} = \frac{{\sqrt {15} - 20x}}{{300}}(*)\)

Giải phương trình (*) ta có

\((*) \Leftrightarrow 60\sqrt {0,0025 + {x^2}} = \sqrt {15} - 20x\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l} 3600.\left( {0,0025{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}15{\rm{ }}-{\rm{ }}40\sqrt {15} x{\rm{ }} + {\rm{ }}400{x^2}\;\\ \Leftrightarrow \;3200{x^2}\; + {\rm{ }}40\sqrt {15} x-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \sqrt {15} - 3\sqrt 7 }}{{160}}\\ x{\rm{ }} = \frac{{ - \sqrt {15} + 3\sqrt 7 }}{{160}} \end{array} \right. \end{array}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình (*) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Lại có điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn \(x = \frac{{ - \sqrt {15} + 3\sqrt 7 }}{{160}} \approx {\rm{ }}0,0254.\)

Suy ra CH = x ≈ 0,0254 km = 25,4 m.

Do đó, \(BC{\rm{ }} = {\rm{ }}BH{\rm{ }}-{\rm{ }}CH\; \approx \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - 0,0254 \approx 0,1682km = {\rm{ }}168,2{\rm{ }}m.\)

Vậy vị trí C thỏa mãn yêu cầu đề bài là điểm cách H một khoảng 25,4 m hay C cách B một khoảng 168,2 m.