Gọi x x 1 2 , là hai nghiệm của phương trình \(x^{2}-(2 m+1) x+m^{2}+1=0\) ( m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức \(P=\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}+x_{2}}\)có giá trị nguyên.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\Delta=(2 m+1)^{2}-4\left(m^{2}+1\right)=4 m-3\)
Phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{3}{4}\)
Theo định lý Viet, ta có \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2 m+1 \\ x_{1} x_{2}=m^{2}+1 \end{array}\right.\)
Khi đó ta có \(P=\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}+x_{2}}=\frac{m^{2}+1}{2 m+1}=\frac{2 m-1}{4}+\frac{5}{4(2 m+1)}\)
\(\Rightarrow 4 P=2 m-1+\frac{5}{2 m+1}\)
Do \(m \geq \frac{3}{4} \text { nên } 2 m+1 \geq \frac{5}{2}\)
Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì (2 m+1) phải là ước của 5\(2 m+1=5 \Leftrightarrow m=2\)
Thử lại ta thấy với m=2 thì P=1 thỏa yêu cầu.