Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn \(\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3\) và biểu thức \(T = 2\left| {z + 5 + 2i} \right| + 3\left| {z – 3i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T. Tính tích Mn.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = x + yi,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x,y} \right)\).
+) Ta có: \(\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {i\left( {z + 2 – i} \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {z + 2 – i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 9\left( 1 \right)\).
Suy ra tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( { – 2;1} \right)\), bán kính R = 3.
+) Khi đó \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) với \(A\left( { – 5; – 2} \right),\,\,\,B\left( {0;3} \right)\).
+) Lại có \(T = 2MA + 3MB = \frac{2}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 MA + \frac{3}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 MB\)
\( \Rightarrow {T^2} = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 MA + \frac{3}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 MB} \right)^2} \le \left( {2 + 3} \right).\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)\)
\( = 5.\left( {5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) = 5\left( {5.{R^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) = 525\).
Suy ra \(M = \sqrt {525} = 5\sqrt {21} \). Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(MA = MB \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2}\Leftrightarrow x + y = – 2 \Leftrightarrow y = – x – 2\left( 2 \right)\).
Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(2{x^2} + 10x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – 5 + \sqrt {17} }}{2}\\{x_2} = \frac{{ – 5 – \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\).
Vậy có 2 số phức thỏa mãn. Suy ra n = 2. Vậy \(Mn = 10\sqrt {21} \).
