Số phức \(1+ (1+ i) + (1+ i)^2 +... + (1+ i)^{20}\)có giá trị bằng.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiÁp dụng công thức tính tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là \(u_1=1\), công sai làq= (1-i) ta có:
\(\begin{array}{l} 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{20}}\\ = 1.\frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{21}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}} = \frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{21}}}}{{ - i}}\\ = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{21}} - 1}}{i} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{20}}\left( {1 - i} \right) - 1}}{i}\\ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^4}} \right]}^5}.\left( {1 - i} \right) - 1}}{i}\\ = \left( { - {2^{10}} - 1 - {2^{10}}i} \right)\left( { - i} \right)\\ = - {2^{10}} + \left( {{2^{10}} + 1} \right)i \end{array}\)
