Cho z, w là các số phức thỏa mãn \(|z|=1,|z-w|=1\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt } z=a+b i(a, b \in \mathbb{R}) \text { và } w=x+y i(x, y \in \mathbb{R})\)
Theo đề bài ta có \(\left\{\begin{array}{l} |z|=1 \\ |z-w|=1 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}=1 \\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}=1 \\ x^{2}+y^{2}=2(a x+b y) \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}=1 \\ \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=a x+b y \end{array}\right.\right.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
\((a x+b y)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=x^{2}+y^{2}\)
Suy ra \(\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)^{2} \leq x^{2}+y^{2} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2} \leq 4\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là hình tròn \((C): x^{2}+y^{2} \leq 4\)
