Cho số phức z1 thỏa mãn | z1 - 2|2 - | z1 + i |2 = 1 và số phức z2 thỏa mãn \(|z_2 - 4 - i | = \sqrt5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của P = |z1 - z2|.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi z=x+yi(x;y∈R). Ta có
\( {\left| {z - 2} \right|^2} - {\left| {z + i} \right|^2} = 1 \to {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} - {x^2} - {\left( {y + 1} \right)^2} = 1 \to 2x + y - 1 = 0\)
Suy ra tập hợp các số phức z1 là đường thẳng Δ:2x+y−1=0.
\( \left| {z - 4 - i} \right| = \sqrt 5 \to \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\)
Suy ra tập hợp các số phức z2 là đường tròn \( \left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\) có tâm I(4;1) và bán kính R=√5
Khi đó biểu thức \( P=|z_1−z_2|\) là khoảng cách từ một điểm thuộc Δ đến một điểm thuộc (C)
Từ đó suy ra \( {P_{\min }} = MN = \left| {d\left[ {I,{\rm{\Delta }}} \right] - R} \right| = \left| {\frac{8}{{\sqrt 5 }} - \sqrt 5 } \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)
