Cho số phức z thỏa mãn \(((z+2) i+1|+|(\bar{z}-2) i-1 \mid=10\). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| . Tính tổng \(S=M+m\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Giả sử } z=a+b i,(a, b \in \mathbb{R}) \Rightarrow \bar{z}=a-b i \text { . }\\ &\text { Chia hai vế cho }|i| \text { ta được: }|z+2-i|+|\bar{z}-2+i|=10 \text { . }\\ &\text { Đặt } M(a ; b), N(a ;-b), A(-2 ; 1), B(2 ;-1), C(2 ; 1) \Rightarrow N B=M C .\\ &\text { Ta có: } M A+M C=10 \Rightarrow M \in(E): \frac{X^{2}}{25}+\frac{Y^{2}}{21}=1 \text { . } \end{aligned}\)
Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ IXY , I (0;1) là trung điểm AC .
\(\begin{aligned} &\text { Áp dụng công thức đổi trục }\left\{\begin{array}{l} X=x \\ Y=y-1 \end{array} \Rightarrow \frac{x^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{21}=1\right. \text { . }\\ &\text { Đăt }\left\{\begin{array}{l} a=5 \sin t \\ b-1=\sqrt{21} \cos t \end{array}, t \in[0 ; 2 \pi) \Rightarrow|z|^{2}=O M^{2}=a^{2}+b^{2}=25 \sin ^{2} t+(1+\sqrt{21} \cos t)^{2}\right.\\ &=26+\left(-4 \cos ^{2} t+2 \sqrt{21} \cos t\right)\\ &|z|_{\max }=1+\sqrt{21} \Leftrightarrow \cos t=1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=1+\sqrt{21} \end{array}\right.\\ &|z|_{\min }=-1+\sqrt{21} \Leftrightarrow \cos t=-1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=1-\sqrt{21} \end{array}\right.\\ &\Rightarrow M+m=2 \sqrt{21} \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số phức z thỏa mãn \(|z|=4\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w=(3+4 i) z+i\) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
-
Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình \({z^3} - 2\left( {1 + i} \right){z^2} + \left( {9 + 4i} \right)z - 18i = 0\), trong đó z1 là nghiệm có phần ảo âm. Tính \(M=|z_1|-|z_2|-|z_3|\).
-
Trong \(\mathbb{C}\), biết \(z_1;z_2\) là nghiệm của phương trình \(z^{2}-\sqrt{3} z+1=0\). Khi đó, tổng bình phương của hai nghiệm có giá trị bằng:
-
Cho hai số phức u , v thỏa mãn \(3|u-6 i|+3|u-1-3 i|=5 \sqrt{10},|v-1+2 i|=|\bar{v}+i|\) . Giá trị nhỏ nhất
của |u-v| là: -
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - \left( {3 - 4i} \right)} \right| = 2\)
-
Nghiệm của phương trình \((1+3 i) z-4 \bar{z}=-9+11 i\) là
-
Gọi \(z_{1}, z_{2}\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^{2}+\sqrt{3} z+7=0\) . Khi đó \(A=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}\) có giá trị
là: -
Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(z^{2}-2 z+5=0 . \text { T }\) . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức \(\frac{7-4 i}{z_{1}}\) trên mặt phẳng phức?
-
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình \(2 z^{2}+\sqrt{3} z+3=0\) . Khi đó, giá trị \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\)
-
Tìm số phức z thỏa mãn \(i z+2 \bar{z}=9+3 i\)
-
Trong C, căn bậc hai của -121 là:
-
Tập nghiệm của phương trình \(z^{4}-2 z^{2}-8=0\) là.
-
Tập nghiệm của phương trình \(z^{4}+2 z^{2}-3=0\) là
-
Nghiệm của phương trình \({x^3} - 8 = 0\) trên tập số phức là:
-
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho hai số thực x , y thỏa mãn \(2 x+1+(1-2 y) i=2(2-i)+y i-x .\) . Khi đó giá trị của \(x^{2}-3 x y-y\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \(\frac{1+3 i}{z}=2+i\)
-
Trong C, phương trình \(z^{2}-z+1=0\) có nghiệm là:
-
Tìm nghiệm của phương trình \(\frac{{2z - 1}}{{z + i}} = 1 + i\)
-
Biết tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn cho bởi hình vẽ bên. Hỏi tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức \(z-3-4 i\) được thể hiện bởi đường tròn trong hình vẽ nào trong bốn hình vẽ dưới đây?
