Cho số phức thỏa mãn \(|z-4|+|z+4|=10\) . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(|z| \text { l }\) lần lượt là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M (a;b) là điểm biểu diễn số phức z .
\(\begin{array}{l} \text { Theo đề: }|z-4|+|z+4|=10 \Leftrightarrow \sqrt{(a-4)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a+4)^{2}+b^{2}}=10 \\ \Leftrightarrow(a+4)^{2}+b^{2}=100+(a-4)^{2}+b^{2}-20 \sqrt{(a-4)^{2}+b^{2}} \Leftrightarrow 20 \sqrt{(a-4)^{2}+b^{2}}=100-16 a \\ \Leftrightarrow 5 \sqrt{(a-4)^{2}+b^{2}}=25-4 a \Leftrightarrow 25\left(a^{2}-8 a+16+b^{2}\right)=625+16 a^{2}-200 a \\ \Leftrightarrow 9 a^{2}+25 b^{2}=225 \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{5^{2}}+\frac{b^{2}}{3^{2}}=1 \end{array}\)
Dựa vào hình elip ta có
\(\Rightarrow \max \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Leftrightarrow a=5 \Rightarrow b=0 \text { và } \min \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Leftrightarrow b=3 \Rightarrow a=0\)
Khi đó \(\max |z|=5, \min |z|=3\)
Vậy tổng cần tìm là 8.
