Cho các số phức \(z_{1}=1+3 i, z_{2}=-5-3 i\) . Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức z3 , biết rằng trong mặt phẳng tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng \(d: x-2 y+1=0\) và môđun số phức \(w=3 z_{3}-z_{2}-2 z_{1}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Vì } M \in d \longrightarrow M(2 y-1 ; y) \text { . }\)
Điểm M biểu diễn số phức \(z_3\) , suy ra \(z_{3}=(2 y-1)+y i(x ; y \in \mathbb{R}) .\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } w=3 z_{3}-z_{2}-2 z_{1}=3(2 y-1+y i)-(-5-3 i)-2(1+3 i)=6 y+(3 y-3) i . \\ \text { Suy ra }|w|=\sqrt{(6 y)^{2}+(3 y-3)^{2}}=3 \sqrt{4 y^{2}+(y-1)^{2}}=3 \sqrt{5 y^{2}-2 y+1} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} =3 \sqrt{\left(\sqrt{5} \cdot y-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}+\frac{4}{5}} \geq 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}} \\ \text { Dấu } "=" \text { xảy ra } \Leftrightarrow y=\frac{1}{5} \longrightarrow x=-\frac{3}{5} \longrightarrow M\left(-\frac{3}{5} ; \frac{1}{5}\right) . \end{array}\)
