Cho số phức z thỏa mãn \(\left|z^{2}-2 z+5\right|=|(z-1+2 i)(z+3 i-1)|\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=|w| \text { , với } w=z-2+2 i \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có }\left|z^{2}-2 z+5\right|=|(z-1+2 i)(z+3 i-1)|\\ \Leftrightarrow\left|(z-1)^{2}+4\right|=|(z-1+2 i)||(z+3 i-1)| \Leftrightarrow\left|(z-1)^{2}-(2 i)^{2}\right|=|(z-1+2 i)||(z+3 i-1)|\\ \Leftrightarrow|(z-1+2 i)(z-1-2 i)|=|(z-1+2 i)|(z+3 i-1) \mid \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} z-1+2 i=0(1) \\ |(z-1-2 i)|=|(z+3 i-1)|(2) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Từ }(1) \Rightarrow z=1-2 i \longrightarrow w=-1 \longrightarrow P=|w|=1 \\ \text { Xét }(2) . \text { Gọi } z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R}) . \\ \text { Ta có }|(z-1-2 i)|=|(z+3 i-1)|\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-1)^{2}+(y+3)^{2} \Leftrightarrow y=-\frac{1}{2} \text { . } \end{array}\)
\(\text { Khi đó } w=x-\frac{1}{2} i-2+2 i=(x-2)+\frac{3}{2} i \longrightarrow P=|w|=\sqrt{(x-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}} \geq \frac{3}{2}>1\)
\(\text { Vậy } P_{\min }=1\)
