Cho số phức\(z=x+i y, x, y \in \mathbb{Z} \text { thỏa mãn } z^{3}=2-2 i\). Cặp số (x;y) là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có }(x+i y)^{3}=2-2 i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x^{3}-3 x y^{2}=2 \\ 3 x^{2} y-y^{3}=-2 \end{array} (1)\Rightarrow x^{3}-3 x y^{2}=-\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)\right.\)
Đặt \(y=tx, t\in \mathbb{Z}\) ta có:
\(\begin{array}{l} x^{3}-3 x(t x)^{2}=-\left[3 x^{2}(t x)-(t x)^{3}\right] \\ \Leftrightarrow x^{3}-3 t^{2} x^{3}=-\left(3 t x^{3}-t^{3} x^{3}\right) \\ \Leftrightarrow x^{3}-3 t^{2} x^{3}=-3 t x^{3}+t^{3} x^{3} \\ \Leftrightarrow x^{3}\left(1-3 t^{2}\right)=x^{3}\left(-3 t+t^{3}\right)(2) \end{array}\)
Với x=0 thì y=o, không thỏa (1).
khi đó
\(\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 1-3 t^{2}=-3 t+t^{3} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=-2-\sqrt{3}(l) \\ t=-2+\sqrt{3}(l) \\ t=1(n) \end{array}\right.\\ t=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \end{array} \Rightarrow(x ; y)=(1 ; 1)\right. \end{array}\)
