Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(A'ABC\) là hình chóp tam giác đều cạnh đáy \(AB=a\). Biết độ dài đoạn vuông góc chung của \(\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }\) và \(BC\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\). Tính thể tích khối chóp \(A'.BB'.C'C\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi O là tâm của đáy ABC và M là trung điểm cạnh BC. Hạ \(MN\bot A'A\). Do \)BC\bot (A'AM)\) nên MN là đoạn vuông góc chung của A’A và BC \(\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2};AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3};AN=\sqrt{A{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\frac{3a}{4}\)
Hai tam giác A’OA và MNA đồng dạng nên
\(\begin{align} & \frac{A'O}{MN}=\frac{AO}{AN}\Rightarrow A'O=\frac{MN.AO}{AN}=\frac{a}{3} \\ & {{V}_{A'.BB'.C'C}}={{V}_{A'B'C'.ABC}}-{{V}_{A'.ABC}}=A'O.{{S}_{ABC}} \\ & =\frac{2}{3}A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{2}{3}.\frac{a}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18} \\ \end{align}\)
