Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua điểm D. Mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Gọi \(P = ME \cap AD; T = ME \cap AB\). Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đường thẳng TN cắt AC, BC lần lượt tại Q, F. Khi đó mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện đã cho phần chứa đỉnh A là tứ diện ATPQ.
Gọi I là trung điểm BD. Xét \(\Delta AID\) ta có: \(\frac{{ED}}{{EI}}.\frac{{MI}}{{MA}}.\frac{{PA}}{{PD}} = 1 \Rightarrow \frac{{PA}}{{PD}} = 3\).
Tương tự ta có: \(\frac{{QA}}{{QC}} = 3\)
Xét \(\Delta AIB\) ta có: \(\frac{{EI}}{{EB}}.\frac{{TB}}{{TA}}.\frac{{MA}}{{MI}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{TB}}{{TA}} = \frac{2}{3}\).
Mặt khác ta có: \(\frac{{{V_{ATPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AT}}{{AB}}.\frac{{AP}}{{AD}}.\frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{5}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{27}}{{80}} \Rightarrow {V_{ATPQ}} = \frac{{27}}{{80}}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{{320}}\).
