Cho hàm số \( f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\) Tính tổng \( S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ...{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} \Rightarrow f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^{1\, - \,x}}}}{{{4^{1\, - \,x}} + 2}}\)
\(\begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \Rightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}} = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{4}{{4 + {{2.4}^x}}}}\\ {}&{{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}} = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{2}{{{4^x} + 2}} = 1.} \end{array}\)
Khi đó
\( f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right) = 1;f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{{2017}}{{2019}}} \right) = 1;\)... và \( f\left( 1 \right) = \frac{4}{6}.\)
Vậy: \( S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ...{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right) = \frac{{2018}}{2}.1 + \frac{4}{6} = \frac{{3029}}{3}.\)
