Cho hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a \sqrt{x} & \text { khi } & 0<x<x_{0} \\ x^{2}+12 & \text { khi } & x \geq x_{0} \end{array}\right. \end{equation}\). Biết rằng ta luôn tìm được một số dương \(x_{0}\) và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\begin{equation} (0 ;+\infty) \end{equation}\). Tính giá trị \(\begin{equation} S=x_{0}+a \end{equation}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { + Khi } 0<x<x_{0}: f(x)=a \sqrt{x} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{a}{2 \sqrt{x}} \text { . Ta có } f^{\prime}(x) \text { xác định trên }\left(0 ; x_{0}\right) \text { nên liên tục }\\ &\text { trên khoảng }\left(0 ; x_{0}\right) \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { + Khi } x>x_{0}: f(x)=x^{2}+12 \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x \text { . Ta có } f^{\prime}(x) \text { xác định trên }\left(x_{0} ;+\infty\right) \text { nên liên tục }\text { trên khoảng }\left(x_{0} ;+\infty\right)\text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { + Tại } x=x_{0}: \\ \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{a \sqrt{x}-a \sqrt{x_{0}}}{x-x_{0}}=\lim \limits _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{a\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{a}{2 \sqrt{x_{0}}} . \\ \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{x^{2}+12-\left(x_{0}^{2}+12\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\left(x+x_{0}\right)=2 x_{0} . \end{array} \end{equation}\)
\(\begin{aligned} &\text { Hàm số } f \text { có đạo hàm trên khoảng }(0 ;+\infty) \text { khi và chỉ khi }\\ &\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \Leftrightarrow \frac{a}{2 \sqrt{x_{0}}}=2 x_{0} \end{aligned}\)
\(\text { Khi đó } f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{a}{2 \sqrt{x_{0}}}=2 x_{0} \text { và } f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a}{2 \sqrt{x}} & \text { khi } 0<x<x_{0} \\ 2 x & \text { khi } x \geq x_{0} \end{array}\right.\) nên hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ;+\infty)\)
\(\text { Ta có } \frac{a}{2 \sqrt{x_{0}}}=2 x_{0} \Leftrightarrow a=4 x_{0} \sqrt{x_{0}}(1)\)
Mặt khác: Hàm số f liên tục tại \(x_{0} \text { nên } x_{0}^{2}+12=a \sqrt{x_{0}}(2)\)
\(\begin{array}{l} \text { Từ (1) và (2) suy ra } x_{0}=2 \text { và } a=8 \sqrt{2} \\ \text { Vậy } S=a+x_{0}=2(1+4 \sqrt{2}) \end{array}\)
