Cho hàm số \(y=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+a x+b & \text { khi } x \geq 2 \\ x^{3}-x^{2}-8 x+10 & \text { khi } x<2 \end{array}\right.\). Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị của \(a^{2}+b^{2}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } y=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+a x+b & \text { khi } x \geq 2 \\ x^{3}-x^{2}-8 x+10 & \text { khi } x<2 \end{array}\right.\\ &\Rightarrow y^{\prime}=\left\{\begin{array}{ll} 2 x+a & \text { khi } x \geq 2 \\ 3 x^{2}-2 x-8 & \text { khi } x<2 \end{array}\right.\\ &\text { Hàm số có đạo hàm tại điểm } x=2 \Rightarrow 4+a=0 \Rightarrow a=-4 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điềm } x=2 \text { thì hàm số liên tục tại điềm } x=2 \text { . }\\ &\text { Suy ra } \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)\\ &\Rightarrow 4+2 a+b=-2 \Rightarrow b=2\\ &\text { Vậy } a^{2}+b^{2}=20 \text { . } \end{aligned}\)
