ADMICRO
Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn x+y=1. Giá trị nhỏ nhất của \(A = {2^x} + \frac{2}{{27}}{.4^{y + 1}}\) là
Chính xác
Xem lời giải
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
ZUNIA12
Lời giải:
Báo saiTa có x+y=1⇔y=1−x khi đó \(A = {2^x} + \frac{2}{{27}}{.4^{2 - x}}\)
Đặt 2x=t,(t>0) ta được \(A = t + \frac{{32}}{{27{t^2}}}\)
Vì x,y là các số thực dương nên y = 1−x > 0 ⇔ x∈(0;1), suy ra t∈(1;2)
Xét hàm số \(A = f\left( t \right) = t + \frac{{32}}{{27{t^2}}}\) với t∈(1;2)
Đạo hàm \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{{64}}{{27{t^3}}} = \frac{{27{t^3} - 64}}{{{t^3}}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}\)
BBT
Vậy \({A_{\min }} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{4}{3}.\)
ZUNIA9
AANETWORK