Cho hàm số \(f(t)=\frac{4^{t}}{4^{t}+m}\)(với m > 0 là tham số thực ). Biết \(f(x)+f(y)=1\) với mọi số thực dương x, y thỏa mãn \((x+y)^{\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2} \cdot(x+y)+\frac{1}{2}\) . Tìm GTNN của hàm số f (t) trên đoạn \(\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ điều kiện bài toán ta có: }(x+y)^{\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2} \cdot(x+y)+\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+y=1 \text { . }\\ &\text { Khi đó } 1=f(x)+f(1-x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+m}+\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+m}=\frac{8+m \cdot\left(4^{x}+4^{1-x}\right)}{4+m \cdot\left(4^{x}+4^{1-x}\right)+m^{2}} \Leftrightarrow m=2>0 \text { . }\\ &\Rightarrow f(t)=\frac{1}{1+\frac{2}{4^{t}}} \Rightarrow \min _{\left[\frac{1}{2} ; 1\right]} f(t)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \end{aligned}\)
