Cho hai số thực dương x y , thay đổi thõa mãn \(x^{2}-4 y^{2}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{2}(x+2 y) \cdot \log _{2}(2 x-4 y)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Theo giả thiết ta có } x^{2}-4 y^{2}=1 \Leftrightarrow(x-2 y)(x+2 y)=1 \Rightarrow x-2 y=\frac{1}{x+2 y} \text { . }\)
\(\text { Khi đó } P=\log _{2}(x+2 y) \cdot \log _{2} \frac{2}{x+2 y}=\log _{2}(x+2 y) \cdot\left[1-\log _{2}(x+2 y)\right]\)
\(=-\left[\log _{2}(x+2 y)-\frac{1}{2}\right]^{2}+\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}\)
\(\text { Dấu bằng xảy ra } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x - 2 y = \frac { 1 } { x + 2 y } } \\ { \operatorname { l o g } _ { 2 } ( x + 2 y ) = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { x + 2 y = \sqrt { 2 } } \\ { x - 2 y = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ y=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \end{array}\right.\right.\right. \text { . }\)
