Cho a , b , c , d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left(1+a^{2}+b^{2}+a^{2} b^{2}\right)\left(1+c^{2}+d^{2}+c^{2} d^{2}\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &P=\left(1+a^{2}+b^{2}+a^{2} b^{2}\right)\left(1+c^{2}+d^{2}+c^{2} d^{2}\right)=\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)\left(1+d^{2}\right) \\ &\Rightarrow \ln P=\ln \left(1+a^{2}\right)+\ln \left(1+b^{2}\right)+\ln \left(1+c^{2}\right)+\ln \left(1+d^{2}\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta chứng minh được bất đẳng thức: } \ln \left(1+t^{2}\right) \geq \frac{8}{17} t-\frac{2}{17}+\ln \frac{17}{16}, \forall t \in[0 ; 1](*) \text { . }\\ &\text { Áp dụng }(*) \text { ta có: }\\ &\ln \left(1+a^{2}\right)+\ln \left(1+b^{2}\right)+\ln \left(1+c^{2}\right)+\ln \left(1+d^{2}\right) \geq \frac{8}{17}(a+b+c+d)-\frac{8}{17}+4 \ln \frac{17}{16}\\ &\Leftrightarrow \ln P \geq 4 \ln \frac{17}{16} \Leftrightarrow P \geq\left(\frac{17}{16}\right)^{4} \text { . Dấu bằng xảy ra khi vầ chi khi } a=b=c=d=\frac{1}{4} \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Vậy } \min P=\left(\frac{17}{16}\right)^{4} \text { . }\)
