Cho các số thực \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\)
thuộc khoảng \(\left(\frac{1}{4} ; 1\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\log _{x_{1}}\left(x_{2}-\frac{1}{4}\right)+\log _{x_{2}}\left(x_{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\log _{x_{n}}\left(x_{1}-\frac{1}{4}\right) .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: }\left(x_{k}-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \Rightarrow x_{k}^{2} \geq x_{k}-\frac{1}{4}, \forall x_{k} \in\left(\frac{1}{4} ; 1\right) \text { do đó với cơ số } 0<x_{k}<1 \text { ta có: }\\ &P \geq \log _{x_{1}} x_{2}^{2}+\log _{x_{2}} x_{3}^{2}+\ldots+\log _{x_{n}} x_{1}^{2}=2\left(\log _{x_{1}} x_{2}+\log _{x_{2}} x_{3}+\ldots+\log _{x_{n}} x_{1}\right)\\ &\geq 2 n \sqrt[n]{\log _{x_{1}} x_{2} \cdot \log _{x_{2}} x_{3} \ldots \log _{x_{n}} x_{1}}=2 n \end{aligned}\)