Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn \(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = 1\). Khi đó giá trị của tích phân \(\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\) là:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + 2x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {5 - x}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx\) bằng

Cho hàm số f(x)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{e}^{e^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=2 . \operatorname{Tính} \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x\)

Đổi biến x  = 2sint thì tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}\)trở thành:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H ) giới hạn bởi\(y=x^{2}\text{ và }y=x+2\) quanh trục Ox là

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng\(K\,\, và\,\, a, b, c \in K\) Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-4 x e^{-f^{3}(x)+2 x^{2}+x+1}=1=f(0)\).  Biết rằng \(I=\int_{0}^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}(4 x+1) f(x) \mathrm{d} x=\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T=a-3 b\)

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:

Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 F\left( x \right)g\left( x \right)dx=3\). Tính tích phân hàm: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 G\left( x \right)f\left( x \right)dx\)

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+5} d x\) là:

Tính tích phân sau \(J = \mathop \smallint \nolimits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}\)

Cho \(I=\int_{0}^{1} x e^{2 x} \mathrm{d} x=a e^{2}+b(a, b\) là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là

Nếu \(\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2\) thì m có giá trị bằng

Giá trị của \(I=\int\limits_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\) là:

Cho \(\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{-1}^{2} g(x) \mathrm{d} x=-1 . \text { Tính } I=\int_{-1}^{2}[x+2 f(x)-3 g(x)] \mathrm{d} x\)

Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x d x=\frac{\pi-2}{2}\).Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^{2}-4 x+3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1 ; x=3\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3\) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng

Giá trị của tích phân \(I=\int_{e}^{e^{2}}\left(\frac{1+x+x^{2}}{x}\right) d x=a\) . Biểu thức P=a-1 có giá trị là

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)