Cho các số phức \(z_{1} \neq 0, z_{2} \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{2}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}=\frac{1}{z_{1}+z_{2}}\) Tính giá trị của biểu thức \(P=\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|+\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \frac{2}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}=\frac{1}{z_{1}+z_{2}} \Leftrightarrow \frac{2 z_{2}+z_{1}}{z_{1} z_{2}}=\frac{1}{z_{1}+z_{2}} \Leftrightarrow\left(2 z_{2}+z_{1}\right)\left(z_{1}+z_{2}\right)-z_{1} z_{2}=0 \\ \Leftrightarrow 2 z_{1} z_{2}+2 z_{2}^{2}+z_{1}^{2}+z_{1} z_{2}-z_{1} z_{2}=0 \Leftrightarrow 2 z_{1} z_{2}+2 z_{2}^{2}+z_{1}^{2}=0 \Leftrightarrow\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2}+2 \frac{z_{1}}{z_{2}}+2=0 \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}}=-1-i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=-1+i \end{array} \Rightarrow\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\sqrt{2} ;\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right|=\frac{1}{\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow P=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right. \end{array}\)
