Biết rằng phương trình \({{\left( x-2 \right)}^{{{\log }_{2}}\left[ 4\left( x-2 \right) \right]}}=4.{{\left( x-2 \right)}^{3}}\) có hai nghiệm \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\,\,\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\). Tính \(2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(x>2\).
Phương trình thành \({{\left( x-2 \right)}^{{{\log }_{2}}4+{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)}}=4.{{\left( x-2 \right)}^{3}}\)
\(\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}.{{\left( x-2 \right)}^{{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)}}=4.{{\left( x-2 \right)}^{3}}\) hay \({{\left( x-2 \right)}^{{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)}}=4.\left( x-2 \right)\).
Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được \({{\log }_{2}}\left( x-2 \right).{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)={{\log }_{2}}\left[ 4\left( x-2 \right) \right]\) .
\( \Leftrightarrow \log _2^2\left( {x - 2} \right) = 2 + {\log _2}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x - 2} \right) = - 1\\ {\log _2}\left( {x - 2} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ x = 6 \end{array} \right.\)
Suy ra \({{x}_{1}}=\frac{5}{2}\) và \({{x}_{2}}=6.\)Vậy \(2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2.\frac{5}{2}-6=-1\).
