\(\begin{aligned} &\text { Cho } f(n)=\left(n^{2}+n+1\right)^{2}+\text { 1. Xét dãy số }\left(u_{n}\right) \text { với } \\ &\qquad u_{n}=\frac{f(1) \cdot f(3) \cdot f(5) \ldots \ldots f(2 n-1)}{f(2) \cdot f(4) \cdot f(6) \ldots \ldots f(2 n)}, \forall n=1,2,3, \ldots \end{aligned}\)
Tính \(\lim n\sqrt{u_n}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } f(n)=\left(n^{2}+n+1\right)^{2}+1=\left(n^{2}+1\right)^{2}+2 n\left(n^{2}+1\right)+n^{2}+1 \\ &=\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2 n+2\right)=\left(n^{2}+1\right)\left[(n+1)^{2}+1\right] . \\ &\text { Suy ra } \frac{f(2 n-1)}{f(2 n)}=\frac{\left[(2 n-1)^{2}+1\right]\left(4 n^{2}+1\right)}{\left(4 n^{2}+1\right)\left[(2 n+1)^{2}+1\right]}=\frac{(2 n-1)^{2}+1}{(2 n+1)^{2}+1} . \\ &\text { Khi đó } u_{n}=\frac{1^{2}+1}{3^{2}+1} \cdot \frac{2^{2}+1}{5^{2}+1} \ldots \ldots \frac{(2 n-1)^{2}+1}{(2 n+1)^{2}+1}=\frac{2}{(2 n+1)^{2}+1}=\frac{1}{2 n^{2}+2 n} . \\ &\text { Vậy } \lim n \sqrt{u_{n}}=\lim n \sqrt{\frac{1}{2 n^{2}+2 n}}=\frac{1}{\sqrt{2}} . \end{aligned}\)
