Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4\) và đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; − 2), nhận \(\vec{u}=\left( 1;a;1-a \right)\) (với \(a\in R\)) làm vecto chỉ phương. Biết rằng d cắt (S) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\), bán kính R = 2.
Gọi B, C là giao điểm giữa d và (S), và O là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề d cắt (S) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của (S) tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Nghĩa là tứ giác OBIC là hình vuông, từ đó suy ra \(BC = 2\sqrt 2 \).
Gọi H là trung điểm BC suy ra \(BH = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 2 \).
Kẻ \(IH \bot BC\), ta có \(IH = \sqrt {I{B^2} - B{H^2}} = \sqrt 2 \).
Từ đó ta có \(d\left( {I;d} \right) = \sqrt 2 \).
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {0; - 2;1} \right)\), \(\overrightarrow u = \left( {1;a;1 - a} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {a - 2;1;2} \right)\).
Vậy
\(\begin{array}{l}
{\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow {a^2} = \frac{5}{3} \in \left( {\frac{3}{2};2} \right)
\end{array}\)
Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Bộ GD&ĐT - Mã đề 101
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng?
-
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a \(\ne\) 1 và \({{\log }_{a}}b\text{ }=\text{ }2\), giá trị của \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( a{{b}^{2}} \right)\) bằng?
-
Đạo hàm của hàm số là?
-
Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y\text{ }=\text{ }a{{x}^{3}}\text{ }+\text{ }b{{x}^{2}}\text{ }+\text{ }cx\text{ }+\text{ }d\text{ }\left( a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d\text{ }\in \text{ }R \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(~lo{{g}_{3}}\left( 2x \right)\ge lo{{g}_{3}}2\) là?
-
Nếu khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V thì khối chóp A'.ABC có thể tích bằng?
-
Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
-
Cho hàm số bậc hai y = f(x) có đồ thị (P) và đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi (P) và d có diện tích \(S=\frac{125}{9}\). Tích phân \(\int\limits_{1}^{6}{\left( 2x\text{ }\text{ }5 \right)f'\left( x \right)dx}\) bằng?
-
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y, tồn tại duy nhất một giá trị \(x\in \left[ \frac{3}{2};\frac{9}{2} \right]\) thỏa mãn \(lo{{g}_{3}}\left( {{x}^{3}}6{{x}^{2}}+\text{ }9x+\text{ }y \right)=lo{{g}_{2}}\left( -\text{ }{{x}^{2}}+6x5 \right)\). Số phần tử của S là
-
Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các định của một lục giác đều?
-
Cho số phức z = 1 − 2i. Phần ảo của số phức z bằng?
-
Cho hàm số \(y={{\left( 2{{x}^{2}}\text{ }-\text{ }1 \right)}^{\frac{1}{2}}}\). Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x = 2 bằng?
-
Cho hình trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 4. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng?
-
Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA = SB = SC = AC = a,SB tạo
với mặt phẳng (SAC) một góc 30°. Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
-
Đường gấp khúc ABC trong hình bên là đồ thị của hàm số y = f(x) trên đoạn [−2; 3]. Tích phân \([\int\limits_{-2}^{3}{f\left( x \right)dx}\) bằng?
-
Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là?
-
Biết đường thẳng y = x − 1 cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{-x+5}{x-2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\). Giá trị \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\) bằng?
-
Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9. Chiều cao của khối nón đã cho bằng?
