Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f\left( 1 \right) = 1,\,\,f\left( { - 1} \right) =  - \dfrac{1}{3}\). Đặt \(g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right)\). Cho biết đồ thị của \(y = f'\left( x \right)\) có dạng như hình vẽ dưới đây. 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 2{x^2}\) song song với đường thẳng \(y = x\)?  

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) - 2018f\left( x \right) = 2018{x^{2017}}{e^{2018x}}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), \(f\left( 0 \right) = 2018\). Tính \(f\left( 1 \right)\)? 

Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy R. Hình nón có đỉnh là tâm đáy trên của hình trụ và đáy là hình tròn đáy dưới của hình trụ. Gọi \({V_1}\) là thể tích của hình trụ, \({V_2}\) là thể tích của hình nón. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).  

Nếu \(\int {f\left( x \right)} dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\) thì \(f\left( x \right)\) bằng  

Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), tính \(\sin \varphi \) biết rằng \(SB = a\).

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 5x + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?  

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 2\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\) và \(f\left( 1 \right) =  - 3\). Tính \(b + 2a\).  

Khối hộp có 6 mặt đều là các hình thoi cạnh a, các góc nhọn của các mặt đều bằng \({60^0}\) có thể tích là  

Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn \({5^{{x^2}}} = {5^x}\)?  

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 3;0;0} \right),\,B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\) nhỏ nhất. Tính \({a^2} + {b^2} - {c^2}\). 

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\). Tìm số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao \(h = 4\).  

Cho hình chóp \(S.\,ABC\) có \(AB = AC = 4,\,BC = 2,\,SA = 4\sqrt 3 \), . Tính thể tích khối chóp \(S.\,ABC.\) 

Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự tại nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng Mersenne, có giá trị bằng \(M = {2^{74207281}} - 1\). Hỏi M có bao nhiêu chữ số?  

Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sqrt 3 \tan x + 2\sin x} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\,20\pi } \right]\) của phương trình bằng 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SO = a\). Khoảng cách giữa \(SC\) và \(AB\) bằng  

Gọi \(S = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\). Giá trị của S là bao nhiêu?