Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau \(3\sqrt {5 - x} + 3\sqrt {5x - 4} = 2x + 7\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(\dfrac{4}{5} \le x \le 5\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\sqrt {5 - x} + 3\sqrt {5x - 4} = 2x + 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {5 - x} - 6 + 3\sqrt {5x - 4} - 3 = 2x - 2\\ \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt {5 - x} - 2} \right) + 3\left( {\sqrt {5x - 4} - 1} \right) - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{{\sqrt {5 - x} + 2}} + \dfrac{{3\left( {5x - 5} \right)}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5 - x} + 2}} + \dfrac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - 2\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right)\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}} - \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}} - \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}} = 2\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}},\,\,x \in \left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\) có
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{15.\dfrac{5}{{2\sqrt {5x - 4} }}}}{{{{\left( {\sqrt {5x - 4} + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{3.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {5 - x} }}}}{{{{\left( {\sqrt {5 - x} + 2} \right)}^2}}} < 0,\)\(\forall x \in \left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{4}{5};5} \right)\)\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\)
Mà \(f\left( 4 \right) = 2 \Rightarrow x = 4\) là nghiệm duy nhất của (*)
Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;4} \right\}\,\,\, \Rightarrow \) Tổng các nghiệm của phương trình là: 5.
Chọn: A
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng\(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2.\) Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng biến thiên sau:
.JPG)
Tìm giá trị cực đại \({y_{{\rm{C\S}}}}\) và giá trị cực tiểu \({y_{{\rm{CT}}}}\) của hàm số đã cho
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD?
-
Phương trình \({4^x} - m\,{.2^{x + 1}} + 2m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\;,\;{x_2}\) thỏa \({x_1} + {x_2} = 3\) khi
-
Tìm tập nghiệm S của phương trình: \({\log _3}(2x + 1) - {\log _3}(x - 1) = 1\).
-
Tìm điều kiện để hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^4} + bx + c(a \ne 0)\) có 3 điểm cực trị.
-
Cho a là số thực dương khác 2 .Tính \(I = {\log _{\dfrac{a}{2}}}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{4}} \right)\).
-
Cho \(a\), \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\)
-
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi có hai đường chéo \(AC = a\), \(BD = a\sqrt 3 \) và cạnh bên \(AA' = a\sqrt 2 \). Thể tích \(V\) của khối hộp đã cho là
-
Với \(a\) là số thực dương khác \(1\) tùy ý, \({\log _{{a^2}}}{a^3}\) bằng
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
.JPG)
Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) đạt cực tiểu tại điểm
-
Tính đạo hàm của hàm số: \(y = {\log _2}(2x + 1)\).
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \) lần lượt là M và m. Chọn câu trả lời đúng.
-
Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2\) thì giá trị của \(P = 3 + \sin 2{x_0}\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a,\)đường cao \(SA = x.\) Góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}\). Khi đó \(x\) bằng
-
Cho khối chóp tứ giác \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thoi và \(SABC\) là tứ diện đều cạnh \(a\). Thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm\(A'\) trên cạnh SA sao cho \(SA' = \dfrac{1}{3}SA\). Mặt phẳng qua \(A'\) và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính theo V thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ ?
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
.JPG)
-
Ông Chính gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo và từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20 triệu đồng. Hỏi sau 18 năm số tiền ông Chính nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông Chính không rút tiền ra (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).
