Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau \(3\sqrt {5 - x} + 3\sqrt {5x - 4} = 2x + 7\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(\dfrac{4}{5} \le x \le 5\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\sqrt {5 - x} + 3\sqrt {5x - 4} = 2x + 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {5 - x} - 6 + 3\sqrt {5x - 4} - 3 = 2x - 2\\ \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt {5 - x} - 2} \right) + 3\left( {\sqrt {5x - 4} - 1} \right) - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{{\sqrt {5 - x} + 2}} + \dfrac{{3\left( {5x - 5} \right)}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5 - x} + 2}} + \dfrac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - 2\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right)\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}} - \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}} - \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}} = 2\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4} + 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt {5 - x} + 2}},\,\,x \in \left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\) có
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{15.\dfrac{5}{{2\sqrt {5x - 4} }}}}{{{{\left( {\sqrt {5x - 4} + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{3.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {5 - x} }}}}{{{{\left( {\sqrt {5 - x} + 2} \right)}^2}}} < 0,\)\(\forall x \in \left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{4}{5};5} \right)\)\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\)
Mà \(f\left( 4 \right) = 2 \Rightarrow x = 4\) là nghiệm duy nhất của (*)
Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;4} \right\}\,\,\, \Rightarrow \) Tổng các nghiệm của phương trình là: 5.
Chọn: A
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập nghiệm S của phương trình: \({\log _3}(2x + 1) - {\log _3}(x - 1) = 1\).
-
Cho tứ diện \(ABCD\)có các cạnh \(AB,AC\)và \(AD\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \({G_1},{G_2},{G_3}\)và \({G_4}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,ABD,ACD\)và \(BCD\). Biết \(AB = 6a,\)\(AC = 9a\), \(AD = 12a\). Tính theo a thể tích khối tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\).
-
Hàm số \(y = {\left( {4{x^2} - 1} \right)^4}\) có tập xác định là
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \) lần lượt là M và m. Chọn câu trả lời đúng.
-
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh cạnh bên vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}\) Tính cạnh bên
-
Cho hình trụ có bán kính \(R\) và chiều cao\(\sqrt 3 R\). Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng \({30^0}\). Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.
.JPG)
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right) + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Cho \(a\) và \(b\) lần lượt là số hạng thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai \(d \ne 0.\) Giá trị của biểu thức \({\log _2}\left( {\dfrac{{b - a}}{d}} \right)\) là một số nguyên có số ước tự nhiên bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
-
Tính đạo hàm của hàm số: \(y = {\log _2}(2x + 1)\).
-
Cho a là số thực dương khác 2 .Tính \(I = {\log _{\dfrac{a}{2}}}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{4}} \right)\).
-
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu\(\left( S \right)\) tâm \(I(a;b;c)\) bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right).\) Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{{{\rm{ax}} + b}}{{cx + d}}\), với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Gọi \(S\)là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \(y = {x^3} - 3x\) ;\(y = x\). Tính \(S\) ?
-
Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2\) thì giá trị của \(P = 3 + \sin 2{x_0}\) là
-
Biết rằng bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + 2.{\log _{\left( {{5^x} + 2} \right)}}2 > 3\) có tập nghiệm là \(S = \left( {{{\log }_a}b; + \infty } \right)\), với \(a\), \(b\) là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và \(a\not = 1\). Tính \(P = 2a + 3b\).
-
Cho khối chóp tứ giác \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thoi và \(SABC\) là tứ diện đều cạnh \(a\). Thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là
-
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi có hai đường chéo \(AC = a\), \(BD = a\sqrt 3 \) và cạnh bên \(AA' = a\sqrt 2 \). Thể tích \(V\) của khối hộp đã cho là
