Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( {O;r} \right)$ và $\left( {O';r} \right).$ Khoảng cách giữa hai đáy là $OO' = r\sqrt 3 .$ Một hình nón có đỉnh là $O$ và có đáy là hình tròn $\left( {O';r} \right).$ Gọi ${S_1}$ là diện tích xung quanh của hình trụ và ${S_2}$ là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.$

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $72c{m^3}.$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng$BB'.$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCM.$ 

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log _{\sqrt 2 }}(x - 1) = {\log _2}(mx - 8)$ có hai nghiệm thực phân biệt? 

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $2a.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{{{\left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)}^{2018}}.{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^{2019}}}}$. 

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$thuộc đoạn $\left[ { - 2018;2019} \right]$ để hàm số $y = m{x^4} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 1$có đúng một điểm cực đại? 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình $f\left( x \right) = m$ có đúng hai nghiệm.

Giả sử $m =  - \frac{a}{b},{\rm{ }}a,b \in {\mathbb{Z}^ + },\left( {a,b} \right) = 1$ là giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:\,y\, = \, - 3x\, + \,m$ cắt đồ thị hàm số $y\, = \,\frac{{2x\, + \,1}}{{x\, - \,1}}$ $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho trọng tâm tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $\Delta \,:\,x\, - \,2y\, - \,2\, = \,0$, với $O$ là gốc tọa độ. Tính $a + 2b.$

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = 2a,SB = 3a,SC = 4a$ và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = {60^ \circ },\widehat {ASC} = {90^ \circ }.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC.$ 

Cho $f(1) = 1,f(m + n) = f(m) + f(n) + mn$ với mọi $m,n \in {N^*}$. Tính giá trị của biểu thức $T = \log \left[ {\frac{{f(96) - f(69) - 241}}{2}} \right]$. 

Cho số dương $a$ và $m,n \in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Tìm điểm cực đại ${x_0}$ của hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$. 

Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}$ có đồ thị $(C)$. Đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b$ là tiếp tuyến của $(C)$, biết $d$ cắt trục hoành tại $A$và cắt trục tung tại $B$sao cho tam giác $OAB$cân tại $O$, với $O$ là gốc tọa độ. Tính $a + b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang cân với đáy$AB = 2a,\,\,AD = BC = CD = a,$ mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right).$ Biết khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {15} }}{5},$ tính theo $a$ thể tích  $V$ của khối chóp $S.ABCD.$

Cho $a > 0$ và $a \ne 1$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 

Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có bảng biến thiên dưới đây:

Tính $P = a - 2b + 3c.$

Phương trình $\left( {{2^x} - 5} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ (với ${x_1} < {x_2}$). Tính giá trị của biểu thức $K = {x_1} + 3{x_2}$.  

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,$ $A'B$ tạo với mặt phẳng đáy  góc ${60^ \circ }.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng 

Sau một tháng thi công dãy phòng học của Trường X, công ty xây dựng đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng $25$ tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để kịp thời đưa công trình vào sử dụng, công ty xây dựng quyết định từ tháng thứ $2$, mỗi tháng tăng $5\%$ khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội dương và ${u_2} = \frac{1}{4},\,{u_4} = 4.$ Giá trị của ${u_1}$ là 

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng ${a^3}$ và đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Tính $\cos \alpha$ với $\alpha$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy.