Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( {O;r} \right)$ và $\left( {O';r} \right).$ Khoảng cách giữa hai đáy là $OO' = r\sqrt 3 .$ Một hình nón có đỉnh là $O$ và có đáy là hình tròn $\left( {O';r} \right).$ Gọi ${S_1}$ là diện tích xung quanh của hình trụ và ${S_2}$ là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.$

Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có bảng biến thiên dưới đây:

Tính $P = a - 2b + 3c.$

Gọi $R,l,h$ lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh, chiều cao của hình nón $\left( N \right).$ Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón là 

Anh Nam mới ra trường và đi làm với mức lương khởi điểm là 6 triệu đồng/1tháng. Anh muốn dành một khoản tiền tiết kiệm bằng cách trích ra 20% lương hàng tháng gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,5%/ tháng. Hỏi sau một năm, số tiền tiết kiệm của anh Nam gần nhất với số nào sau đây? 

Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}$ có đồ thị $(C)$. Đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b$ là tiếp tuyến của $(C)$, biết $d$ cắt trục hoành tại $A$và cắt trục tung tại $B$sao cho tam giác $OAB$cân tại $O$, với $O$ là gốc tọa độ. Tính $a + b$.

Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{{{\left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)}^{2018}}.{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^{2019}}}}$. 

Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là $2\,cm$, chiều cao $20\,cm$. Trong cốc đang có một ít  nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là $12\,cm$ (Hình vẽ). Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá $6\,cm$. Con quạ thông minh mổ những viên bi đá hình cầu có bán kính $0,6\,cm$ thả vào cốc nước để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên bi?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác với $AB = 2cm,AC = 3cm,\;\angle BAC = {60^0},SA \bot \left( {ABC} \right).$Gọi ${B_1},{C_1}$ lần lượt là hình chiếu  vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối cầu đi qua năm điểm $A,B,C,{B_1},{C_1}.$ 

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $72c{m^3}.$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng$BB'.$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCM.$ 

Mặt cầu có bán kính $a$ thì có diện tích xung quanh bằng 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right).$ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là điểm $I$ với 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho $a > 0$ và $a \ne 1$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $K,M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SA,SB,\,\,\,\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua $K$ song song với $AC$ và $AM.$ Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện. Gọi ${V_1}$ là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh $S$ và ${V_2}$ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.$ 

Cho hình nón có chiều cao bằng $8cm,$ bán kính đáy bằng $6cm.$ Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng 

Giả sử $m =  - \frac{a}{b},{\rm{ }}a,b \in {\mathbb{Z}^ + },\left( {a,b} \right) = 1$ là giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:\,y\, = \, - 3x\, + \,m$ cắt đồ thị hàm số $y\, = \,\frac{{2x\, + \,1}}{{x\, - \,1}}$ $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho trọng tâm tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $\Delta \,:\,x\, - \,2y\, - \,2\, = \,0$, với $O$ là gốc tọa độ. Tính $a + 2b.$

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng ${a^3}$ và đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Tính $\cos \alpha$ với $\alpha$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy. 

Biết phương trình ${\log _5}\frac{{2\sqrt x  + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)$ có một nghiệm dạng $x = a + b\sqrt 2$ trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính  $2a + b$. 

Cho khối chóp có thể tích bằng $32c{m^3}$ và diện tích đáy bằng $16c{m^2}.$ Chiều cao của khối chóp đó là 

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{1 - \ln x}}$.