Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(K,M\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(SA,SB,\,\,\,\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(K\) song song với \(AC\) và \(AM.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện. Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh \(S\) và \({V_2}\) là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ K kẻ \(IK//AM\,\,\left( {I \in SB} \right),\,KJ//AC\,\,\left( {J \in SC} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {IJK} \right)\) và \(I,J\) lần lượt là trung điểm của SM, SC (do K là trung điểm của SA)
Trong (SAB), gọi N là giao điểm của IK và AB \( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\)
Trong (ABCD), kẻ đường thẳng qua N song song AC, cắt AD tại Q, CD tại P.
Khi đó, dễ dàng chứng minh P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD và \(\left( {IJK} \right) \equiv \left( {IJPQK} \right)\)
*) \(\frac{{{V_{S.IJK}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SK}}{{SA}}.\frac{{SI}}{{SB}}.\frac{{SJ}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {V_{S.IJK}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{32}}{V_{S.ABCD}}\)
*) Gọi L là trung điểm của SD.
Khi đó, khối đa diện SKJPQD được chia làm 2 khối: hình lăng trụ tam giác KJL.QPD và hình chóp tam giác S.KJL
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{S.ILK}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SK}}{{SA}}.\frac{{SL}}{{SD}}.\frac{{SJ}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.LJK}} = \frac{1}{8}{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}\\{V_{KJL.QPD}} = 3{V_{L.PQD}} = 3.\frac{1}{3}.{d_{\left( {L;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.{S_{PQD}} = 3.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{d_{\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\frac{1}{4}{S_{ACD}} = \frac{3}{8}.\frac{1}{3}{d_{\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{S_{ACD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ACD}} = \frac{3}{{16}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_1} = {V_{S.IJK}} + {V_{S.LJK}} + {V_{KJL.QPD}} = \frac{1}{{32}}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}} + \frac{3}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{9}{{32}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_2} = \frac{{23}}{{32}}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{23}}.\end{array}\)
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Nguyên Hãn