Biết phương trình \({\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có một nghiệm dạng \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Tính \(2a + b\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(x > 1\)
Ta có: \({\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) - {\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right) = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 2{\log _3}\left( {t - 1} \right),\,\,t \in \left( {1; + \infty } \right)\), có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 5}} + \frac{2}{{\left( {t - 1} \right).\ln 3}} > 0,\,\,\forall \,\,t \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow \)Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Khi đó, phương trình (1) \( \Leftrightarrow f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x + 1 = x \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 + \sqrt 2 \\\sqrt x = 1 - \sqrt 2 < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow x = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\,\,\, \Rightarrow 2a + b = 2.3 + 2 = 8\).
Chọn: B
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Nguyên Hãn