Có bao nhiêu cặp số nguyên\((x,y)\) thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Nhận xét \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2>0\forall x;y\)
Bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\)\(\Leftrightarrow \frac{{{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}}{{{2}^{2x}}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\) \(\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\).
Đặt \(t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\). Bất phương trình\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le t+1\)\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}-t-1\le 0\)
Đặt \(f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1\). Ta thấy \(f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0\).
Ta có \({f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1\)
\({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{t}}\ln 2=1\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,52\)
.PNG)
Từ BBT ta thấy \(f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 1\)
\(0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1\)\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\Rightarrow {{(x-1)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow 0\le x\le 2\)
- Với \(x=0\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0\) ta có 1 cặp
- Với \(x=1\Rightarrow {{y}^{2}}\le 1\Rightarrow y=0;y=\pm 1\) ta có 3 cặp
- Với \(x=2\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0\) ta có 1 cặp
Vậy có tất cả 5 cặp \((x,y)\)thõa mãn.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Bà Điểm
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông cân đỉnh \(A\), mặt bên là \(BC{C}'{B}'\) hình vuông, khoảng cách giữa \(A{B}'\) và \(C{C}'\) bằng \(a\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là
-
Cho \(\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Tính \(I=\int\limits_{2}^{4}{\left[ 3f\left( x \right)-5 \right]\text{d}x}\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(M\left( 2;1;-3 \right)\), \(N\left( 1;0;2 \right)\); \(P\left( 2;-3;5 \right)\). Tìm một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \(\left( MNP \right)\).
-
Cho hình trụ có bán kính \(R\) và chiều cao \(\sqrt{3}R\). Hai điểm \(A\), \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) và trục \(d\) của hình trụ bằng \(30{}^\circ \). Tính khoảng cách giữa \(AB\) và trục của hình trụ.
-
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(r=5cm\)và độ dài đường sinh \(l=7cm\) bằng
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), \(BC=a,\ AC=2a,\ {A}'A=a\sqrt{3}\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( BCD'A' \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( 3\,;-1\,\,;2 \right)\), \(B\left( 0\,;\,1\,;\,3 \right)\) và \(C\left( -1;\,1\,;1 \right)\). Đường thẳng đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(AB\) có phương trình là:
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số
\(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{4}}-m\) có ba điểm cực trị đều thuộc các trục toạ độ
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( 2;\,0;\,-1 \right)\), \(B\left( 1;\,-2;\,3 \right)\), \(C\left( 0;\,1;\,2 \right)\). Tìm tọa độ điểm \({O}'\) là điểm đối xứng với gốc tọa độ \(O\) qua mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=3\) và \({{u}_{2}}=-1\). Công sai của cấp số cộng đó bằng
-
Trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\), đạo hàm của hàm số\(y={{\log }_{2}}x\) là:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
-
Cho số phức \(z=-4+5i\). Biểu diễn hình học của \(z\) là điểm có tọa độ
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau
.PNG)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\), đạo hàm của hàm số \(y={{x}^{e}}\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\) và \(\left( S' \right):\,\,{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 1;0;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=t \\ & z=-1-t \\ \end{align} \right.\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và chứa \(d\). Tổng khoảng cách từ điểm \(N\left( -3;-2;1 \right)\) và \(Q\left( -1;3;0 \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số\(y=\left| {{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20 \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(AB=a\), \(AC=3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2\cos x\) là
