Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1,x=3.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
+) Ta có \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}=1+{{e}^{x}}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}+C.\)
+) Lại có \(f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}.\)
Xét hàm số \(g\left( t \right)=t+{{e}^{t}}\) với \(t\in \mathbb{R}.\) \({g}'\left( t \right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Suy ra \(f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=x.\) Do đó
\(S=\int\limits_{1}^{3}{xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=4.\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Bà Điểm