Cho hình trụ có bán kính \(R\) và chiều cao \(\sqrt{3}R\). Hai điểm \(A\), \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) và trục \(d\) của hình trụ bằng \(30{}^\circ \). Tính khoảng cách giữa \(AB\) và trục của hình trụ.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Gọi \(I\), \(J\) là tâm của hai đáy.
Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với trục \(d\) của hình trụ, cắt đường tròn đáy kia tại \(C\). Khi đó, \(\left( AB,d \right)\)\(=\)\(\left( AB,BC \right)\)\(=\widehat{ABC}\). Suy ra \(\widehat{ABC}=30{}^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có:
\(\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{CB}\)\(\Rightarrow \)\(AC\)\(=CB.\tan \widehat{ABC}\)\(=R\sqrt{3}.\tan 30{}^\circ \)\(=R\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(=R\).
Lại có \(d\text{//}\left( ABC \right)\) và \(\left( ABC \right)\supset AB\) nên \(d\left( d,AB \right)\)\(=d\left( d,\left( ABC \right) \right)\)\(=d\left( J,\left( ABC \right) \right)\).
Kẻ \(JH\bot AC\), \(H\in AC\). Vì \(BC\bot JH\) nên \(JH\bot \left( ABC \right)\). Suy ra \(d\left( J,\left( ABC \right) \right)=JH\).
Xét tam giác \(JAC\) ta thấy \(JA=JC=AC=R\) nên \(JAC\) là tam giác đều cạnh \(R\). Khi đó chiều cao là \(JH=\frac{R\sqrt{3}}{2}\). Vậy \(d\left( d,AB \right)=\frac{R\sqrt{3}}{2}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Bà Điểm