Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), tính \(\sin \varphi \) biết rằng \(SB = a\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\), nhận xét góc giữa \(SB\) và \(\left( {SCD} \right)\) cũng bằng góc giữa \(OM\) và \(\left( {SCD} \right)\) (Vì \(OM//SB\))
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {OM,\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OM,MH} \right)} = \widehat {OMH}\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(OE//SH\), khi đó tứ diện \(OECD\) là tứ diện vuông nên \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{O{D^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\).
Ta dễ dàng tính được \(OC = \dfrac{a}{2},OD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Lại có: \(\dfrac{{OE}}{{SH}} = \dfrac{{OD}}{{HD}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow OE = \dfrac{3}{4}SH\), mà \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Do đó \(OE = \dfrac{3}{4}SH = \dfrac{3}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Suy ra \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a/2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 /2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 /4} \right)}^2}}} = \dfrac{8}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Tam giác \(OMH\) vuông tại \(H\) có \(OM = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \sin \widehat {OMH} = \dfrac{{OH}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = 2a\), đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \(30^\circ \). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y = \left| {{{\sin }^3}x - m.\sin \,x + 1} \right|\). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Tính số phần tử của S?
-
Tích \(\dfrac{1}{{2019!}}{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)^1}.{\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)^2}.{\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)^3}...{\left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right)^{2018}}\) được viết dưới dạng \({a^b}\), khi đó \(\left( {a;b} \right)\) là cặp nào trong các cặp sau?
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^{2019}}\), \(\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
-
Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn \({5^{{x^2}}} = {5^x}\)?
-
Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{2}{{{x^2} + 2x + 2}}\) có hoành độ và tung độ đều là số nguyên?
-
Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sqrt 3 \tan x + 2\sin x} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\,20\pi } \right]\) của phương trình bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 27 + \cos x\) và \(f\left( 0 \right) = 2019\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;\,2019} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\). Tìm số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
.JPG)
-
Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và điểm \(B\left( {2;1;2} \right)\).
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:
-
Cho cấp số nhân \({u_1},\,{u_2},\,{u_3},...,{u_n}\) với công bội \(q\) \(\left( {q \ne 0,q \ne 1} \right)\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó, ta có:
-
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 2\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\) và \(f\left( 1 \right) = - 3\). Tính \(b + 2a\).
-
Có bao nhiêu giá trị thực của m để bất phương trình \(\left( {2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x + 2 < 0\) vô nghiệm?
-
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong \(\left[ { - 2017;2017} \right]\) để phương trình \(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\) có nghiệm duy nhất?
-
Với giá trị nào của x thì biểu thức \({\left( {4 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{3}}}\) sau có nghĩa
-
Khối hộp có 6 mặt đều là các hình thoi cạnh a, các góc nhọn của các mặt đều bằng \({60^0}\) có thể tích là
