Cho cấp số nhân ${u_1},\,{u_2},\,{u_3},...,{u_n}$ với công bội $q$ $\left( {q \ne 0,q \ne 1} \right)$. Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$. Khi đó, ta có:  

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $f\left( {2 - \sqrt {2x - {x^2}} } \right) = m$ có nghiệm?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'\left( x \right) - 2018f\left( x \right) = 2018{x^{2017}}{e^{2018x}}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, $f\left( 0 \right) = 2018$. Tính $f\left( 1 \right)$? 

Nếu $\int {f\left( x \right)} dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C$ thì $f\left( x \right)$ bằng  

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong $\left[ { - 2017;2017} \right]$ để phương trình $\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)$ có nghiệm duy nhất?  

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2019;\,2019} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\, - 1} \right)$?

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:  

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, biết $SA = SB$, $SC = SD$, $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SCD} \right)$. Tổng diện tích hai tam giác SAB, SCD bằng $\dfrac{{7{a^2}}}{{10}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là 

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 2$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ và $f\left( 1 \right) =  - 3$. Tính $b + 2a$.  

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)$. Tìm số nghiệm của phương trình $g'\left( x \right) = 0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( { - 3;0;0} \right),\,B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}$ nhỏ nhất. Tính ${a^2} + {b^2} - {c^2}$. 

Xét một bảng ô vuông gồm $4 \times 4$ ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền số?  

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ: Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có mấy điểm cực trị?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a\sqrt 3$, $BC = 2a$, đường thẳng $AC'$ tạo với mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ một góc $30^\circ$. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, biết rằng tập hợp tất cả các điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ sao cho $\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 3$ là một hình đa diện. Tính thể tích V của khối đa diện đó.  

Cho phương trình $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sqrt 3 \tan x + 2\sin x} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x$. Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;\,20\pi } \right]$ của phương trình bằng 

Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự tại nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng Mersenne, có giá trị bằng $M = {2^{74207281}} - 1$. Hỏi M có bao nhiêu chữ số?  

Tìm tọa độ điểm M  trên trục Ox cách đều hai điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$ và điểm $B\left( {2;1;2} \right)$. 

Cho ${\log _3}x = 3{\log _3}2$. Khi đó giá trị của x là  

Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn ${5^{{x^2}}} = {5^x}$?  

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện: $f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$, $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Khi đó giá trị $f\left( 1 \right)$ bằng