Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có đồ thị (C), đường thẳng \(y=2x+m\) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(x\ne 1.\)
Để \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(y=2x+m\) tại điểm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì phương trình sau có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_0}} \right) = 2\\\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 1}} = 2{x_0} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 2\\\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 1}} = 2{x_0} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 1\\{x_0} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 1\end{array} \right.\\2 - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 2{x_0} + m\end{array} \right..\)
Ta có: \({x_0} = 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow m = 2\left( {1 - {x_0}} \right) - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 2.\left( { + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\)
\({x_0} = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow m = 2\left( {1 - {x_0}} \right) - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 2.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{{ + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 = - 2\sqrt 2 .\)
Chọn đáp án A.
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Chu Văn An
