Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\). Tính thể tích của khối chóp?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Hạ đường cao \(SH\) xuống cạnh \(BC.\)
Nối \(A\) với \(H.\) Hạ đường cao \(SK\) xuống \(AH.\)
Ta có \(SH\bot BC\,\left( 1 \right).\)
Do \(SBC\)là tam giác cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến. \(ABC\) đều nên \(AH\) là đường cao.
Do đó \(AH\bot BC\,\,\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\bot \left( AHS \right)\Rightarrow BC\bot SK.\)
Mặt khác \(SK\bot AH,\) nên \(SK\bot \left( ABC \right).\) Do đó \(SK\) là đường cao của chóp.
Do \(H\) là trung điểm nên \(HC=\frac{a}{2}.\)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác \(SHC\) ta có \(SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)
Tương tự ta có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) Tương tự các bài trước và từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AKS,\,SKH\) ta có:
\(S{{K}^{2}}=S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{K}^{2}}=S{{A}^{2}}-{{\left( AH-KH \right)}^{2}}\Rightarrow KH=\frac{a}{2\sqrt{3}}.\)
Do đó \(SK=\sqrt{S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{7}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{3}}a.\)
Từ đó \(V=\frac{1}{3}SK.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\left( \sqrt{\frac{5}{3}}a \right)\,.\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}.\)
Chọn đáp án B.
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Chu Văn An
