Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm \(O\) bán kính \(4\sqrt{3}\) thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách \(h\) giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
\(d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=O{O}'=h\); \(AB=R\).
\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}}.\)
\(\Delta OA{O}'\) vuông tại \(O\) nên \({O}'A=\sqrt{{O}'{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{R}^{2}}+\frac{3{{h}^{2}}}{4}}.\)
Diện tích xung quanh của hình nón: \(S=\pi .OA.{O}'A=\pi .\sqrt{\left( {{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4} \right).\left( {{R}^{2}}+\frac{3{{h}^{2}}}{4} \right)}\).
Đặt \(x=\frac{{{h}^{2}}}{4},x>0\).
Xét \(f\left( x \right)=\pi .\sqrt{\left( {{R}^{2}}-x \right).\left( {{R}^{2}}+3x \right)}=\pi .\sqrt{{{R}^{4}}+2{{R}^{2}}x-3{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( 0;{{R}^{2}} \right]\).
\({f}'\left( x \right)=\pi .\frac{2{{R}^{2}}-6x}{2\sqrt{\left( {{R}^{2}}-x \right).\left( {{R}^{2}}+3x \right)}}\).
\({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{R}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow x=\frac{{{R}^{2}}}{3}\).
Diện tích xung quanh của hình nón đạt giá trị lớn nhất khi \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( 0;{{R}^{2}} \right]\). Khi đó \(x=\frac{{{R}^{2}}}{3}\Leftrightarrow \frac{{{h}^{2}}}{4}=\frac{{{R}^{2}}}{3}\Leftrightarrow {{h}^{2}}=\frac{4{{R}^{2}}}{3}\Rightarrow h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}=\frac{2\left( 4\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{3}=8\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và hàm số \(y={f}'\left( x \right)\)là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Hàm số \(y=f\left( x \right)\)nghịch biến trên
-
Lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\)có thể tích bằng \(V\). Khi đó, thể tích khối chóp \(A.AB{{C}^{'}}\) bằng:
-
Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\) trên \(\mathbb{R}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+x-1\) không có điểm cực đại?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{2}^{x\,-\,3}}\,>\,8\) là
-
Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Gọi \(l,h,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy. Diện tích xung quanh
\({{S}_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\sqrt{2}a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
-
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+2x}\) là
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \(CD=2AB=2AD=6.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC=2a\). Hình chiếu vuông góc của \({A}'\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\) và \(A{A}'=a\sqrt{2}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.
-
Cho phương trình \(\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5 \right)\sqrt{{{7}^{x}}-m}=0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA=y\,\,\left( y>0 \right).\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\). Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(M\) và đặt \(AM=x\,(0 < x < a).\) Tính thể tích lớn nhất \({{V}_{\max }}\) của khối chóp \(S.ABCM,\) biết \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}.\)
-
Nghiệm của phương trình \({{\left( \frac{1}{5} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{5}^{x+1}}\) là
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=3a,\)\(AC=4a,\) \(BC=5a,\)khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \({B}'{C}'\) bằng \(2a.\) Gọi \(M,\)\(N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{B}'\) và \({A}'{C}',\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích \(V\) của khối chóp \(A.BCNM\) là
-
Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+m-3 \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\). Xét các mệnh đề sau:
1) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right).\)
2) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
3) Hàm số đã cho không có điểm cực trị.
4) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Số các mệnh đề đúng là
