Cho hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?

A. 7

B. -6

C. 3

D. -3

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Chọn B

Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-4x \right)\).

Có \(g'\left( x \right)=\left( 2x-4 \right)f'\left( {{x}^{2}}-4x \right)\). Cho

\(\begin{array}{l}
g'\left( x \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
f'\left( {{x^2} - 4x} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f'\left( {{x^2} - 4x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x = - 4\\
{x^2} - 4x = - 2\\
{x^2} - 4x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 2 \pm \sqrt 2 \\
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Lại có: \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\)\(\Leftrightarrow 3{{g}^{2}}\left( x \right)-\left( m+2 \right)g\left( x \right)+m-1=0\,\,\left( 2 \right)\).

Ta có: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}-4.3.\left( m-1 \right)0={{m}^{2}}-8m+16={{\left( m-4 \right)}^{2}}>0,\forall m\ne 4\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(g\left( x \right)=h\left( m \right)\) có tối đa là 5 nghiệm phân biệt

Do đó, để phương trình \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\) có đúng 8 nghiệm phân biệt thì

TH1. \(\left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = 2\\
- 2 < g\left( x \right) < 2
\end{array} \right.\).

Thế \(g\left( x \right)=2\) vào phương trình (2) ta được \(m=7\). Khi \(m=7\), phương trình (2) có hai nghiệm

\(\left[ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = 2\\
g\left( x \right) = 1
\end{array} \right.\) thỏa yêu cầu.

TH2. \(\left\{ \begin{array}{l}
- 3 < g\left( x \right) < - 2\\
- 2 < g\left( x \right) < 2
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 3 < \frac{{m + 2 - \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}} }}{6} < - 2\\
- 2 < \frac{{m + 2 + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}} }}{6} < 2
\end{array} \right.\)

Với \(m\ge 4\), ta có:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 18 < 6 < - 12\\ - 12 < 2m - 2 < 12 \end{array} \right.\)(vô lí).

Với \(m < 4\), ta có:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 18 < 2m - 2 < - 12\\ - 12 < 6 < 12 \end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow - 8 < m < - 5\).

Vậy có tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu đề bài là \(7+\left( -7 \right)+\left( -6 \right)=-6\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài